关于高斯、Wishart 与双 Wishart 随机矩阵所有特征值均落于某区间内的概率

我们推导了当随机矩阵 $\bf M$ 为实或复有限维 Wishart 矩阵、双 Wishart 矩阵或高斯对称/Hermitian 矩阵时，其所有特征值均落在任意区间 $[a,b]$ 内的概率 $\psi(a,b)\triangleq\Pr\{a\leq\lambda_{\min}({\bf M}), \lambda_{\max}({\bf M})\leq b\}$。我们给出了高效的递推公式，使得即使对于具有大量变量和自由度的 Wishart 矩阵，也能精确计算 $\psi(a,b)$。我们还证明了对于所有特征值位于极限谱支撑(由 Mar{\v{c}}enko-Pastur 律或半圆律给出)内的概率，当维度很大时，实部和复部情形分别趋于普适值 $0.6921$ 和 $0.9397$。应用包括改进了压缩感知中高斯测量矩阵具有给定受限等距常数的概率的界。