实 Wishart 随机矩阵的渐近无穷小分布

设 $X_N$ 为纵横比 $M/N$ 的 $N \times N$ 实 Wishart 随机矩阵。$X_N$ 的极限特征值分布是参数为 $c = \lim_N M/N$ 的 Marchenko-Pastur 律。极限矩 $\{m_n\}_n$ 由 $m_n = \sum_{\pi} c^{\#(\pi)}$ 给出，其中求和遍历 $NC(n)$。令 $m_n'$ 为 $N( \mathrm{E}(\mathrm {tr}(X_N^n)) - m_n)$ 的极限。这些即为实 Wishart 矩阵的渐近无穷小矩。我们证明 $m'_n$ 可写为带有两项的平面图示和：$\sum_{\pi} c'(\#(\pi) -1) c^{\#(\pi)-1}$，以及 $\sum_{\pi \in S_{NC}^\delta(n,-n)} c^{\#(\pi)/2}$，其中 $S_{NC}^\delta(n,-n)$ 是满足对称性条件的非交叉环形置换集合。此外，我们给出了与第二项相关的递归公式，该公式与高阶自由性中的一个递归公式有关。