随机Vandermonde矩阵最大与最小奇异值的渐近行为

本文研究了与随机Vandermonde矩阵及其扩展到 $d$ 维相位分布相关的各种统计分布。最大奇异值的上界和下界渐近行为分别为 $O(\log^{1/2}{N^{d}})$ 和 $\Omega((\log N^{d} /(\log \log N^d))^{1/2})$，其中 $N$ 是矩阵的维数，推广了文献 \cite{TW} 中的结果。我们进一步研究了这些随机矩阵的最小奇异值的行为。特别地，我们证明最小奇异值以高概率至多为 $N\exp(-C\sqrt{N})$，其中 $C$ 是与 $N$ 无关的常数。此外，常数 $C$ 的值被显式确定。主要结果通过两种不同方式获得。一种方法使用随机过程技术，特别是与布朗桥相关的构造。另一种是更直接的分析方法，涉及组合学和复分析。作为推论，我们得到了单位圆上随机复多项式最大绝对值的一个下界，这可能具有独立的数学意义。最后，对于每个正整数序列 $\{k_p\}_{p=1}^{\infty}$，我们给出了先前讨论矩阵的推广版本。经典随机Vandermonde矩阵对应于序列 $k_p=p-1$。我们找到了它们矩的组合公式，并证明了极限特征值分布收敛到支撑在 $[0,\infty)$ 上的概率测度。最后，我们证明对于序列 $k_p=2^{p}$，极限特征值分布是著名的Marchenko-Pastur分布。