秩 1 实 Wishart 尖峰模型 I：有限 N 分析

本文是研究秩 1 实 Wishart 尖峰模型渐近极限中相变的第一部分。我们考虑 $N$ 维实 Wishart 矩阵 $S$，属于 $W_{\mathbb{R}}\left(\Sigma,M\right)$ 类，其中 $\Sigma$ 除一个特征值外均为 1。设 $\Sigma$ 的非平凡特征值为 $1+\tau$，则当 $N$, $M\rightarrow\infty$，且 $N/M=\gamma^2$ 为有限非零值时，$S$ 的特征值分布将在体区域内收敛到 Marchenko-Pastur 分布。随着 $\tau$ 从零增加，开始观察到 $S$ 的离群特征值出现在 Marchenko-Pastur 密度支撑之外。当第一个离群特征值离开体区域时，Wishart 矩阵的最大特征值分布将发生相变。本文将计算相变发生时最大特征值分布的渐近形式。在本文的前半部分，我们将建立对所有 $N$ 和 $M$ 都有效的结果，并在后半部分（即将发表）中利用这些结果进行渐近分析。特别地，我们推导了当 $X$, $Y$ 为对称矩阵且 $Y$ 为秩 1 矩阵时，积分 $\int_{O(N)}e^{-\tr(XgYg^T)}g^T\D g$ 的公式。这使我们能够写出最大特征值分布的 Fredholm 行列式公式，并使用正交多项式技术进行分析。该方法与 Bloemendal 和 Virag 近期论文中利用随机算子方法获得最大特征值分布的方法截然不同。