异方差 Wishart 型矩阵的非渐近集中性

本文关注异方差 Wishart 型矩阵的非渐近集中性。设 $Z$ 是一个 $p_1$ 乘 $p_2$ 随机矩阵，且 $Z_{ij} \sim N(0,\sigma_{ij}^2)$ 相互独立，我们证明 Wishart 矩阵偏差（即 $\mathbb{E} \left\|ZZ^\top - \mathbb{E} ZZ^\top\right\|$）的期望谱范数上界为 \begin{equation*} \begin{split} (1+\epsilon)\left\{2\sigma_C\sigma_R + \sigma_C^2 + C\sigma_R\sigma_*\sqrt{\log(p_1 \wedge p_2)} + C\sigma_*^2\log(p_1 \wedge p_2)\right\}, \end{split} \end{equation*} 其中 $\sigma_C^2 := \max_j \sum_{i=1}^{p_1}\sigma_{ij}^2$，$\sigma_R^2 := \max_i \sum_{j=1}^{p_2}\sigma_{ij}^2$ 且 $\sigma_*^2 := \max_{i,j}\sigma_{ij}^2$。我们给出了一个与该上界匹配的极小极大下界。接着，在更一般的分布（如次高斯分布和重尾分布）下，我们推导了异方差 Wishart 型矩阵的集中不等式、矩和尾界。接下来，我们考虑 $Z$ 具有同方差列或行（即 $\sigma_{ij} \approx \sigma_i$ 或 $\sigma_{ij} \approx \sigma_j$）的情形，并推导了达到最优速率的 Wishart 型集中界。最后，我们将所开发的工具应用于确定异方差聚类问题中一致聚类的尖锐信噪比阈值。