重尾 Wigner 矩阵的有限秩扰动

Wigner 矩阵的秩一扰动已被深入研究：令 P = (1/√n)A + θ vvᵀ，其中 A = (aᵢⱼ)₁≤ᵢ,ⱼ≤ₙ ∈ ℝⁿˣⁿ 对称，(aᵢⱼ)₁≤ᵢ≤ⱼ≤ₙ 独立同分布且为中心标准正态分布，且 θ > 0，v ∈ 𝕊ⁿ⁻¹。众所周知 P 的最大特征值 λ₁(P) 在 θ₀ = 1 处存在相变：当 θ ≤ 1 时，λ₁(P) → 2（a.s.）；而当 θ > 1 时，λ₁(P) → θ + θ⁻¹（a.s.）。在更一般的条件下，适当归一化的 λ₁(P) 的极限行为也已确立：若 ||v||∞ = o(1) 则为正态，若 v 集中于一个分量则为 a₁₁ 的分布与高斯分布的卷积。这些收敛要求有限的四阶矩，本文考虑违背该条件的情况。对于对称的 a₁₁ 分布，重尾且指数 α ∈ (0,4)，波动被证明是普适的且依赖于 θ 而不依赖于 v；而边界情形 α = 4 的一个子族展现出轻尾与重尾两种机制的特征：出现两种极限律，依赖于 v 是否局域化，各自在 θ₀ = 1、θ₀ ∈ [1, 128/89] 处呈现连续相变。这些结果建立在我们先前分析上述子族中 λ₁((1/√n)A) 渐近行为的工作之上。