正规算子的有限秩扰动：超不变子空间与 Pearcy 问题

我们从不变子空间的存在性角度出发，考虑了作用在无限维、可分、复 Hilbert 空间上的可对角化正规算子的有限秩扰动。特别地，若 $T=D_\Lambda+u\otimes v$ 是可对角化正规算子 $D_\Lambda$ 关于基 $\mathcal{E}=\{e_n\}_{n\geq 1}$ 的秩一扰动，且向量 $u$ 和 $v$ 关于 $\mathcal{E}$ 的 Fourier 系数分别为 $\{\alpha_n\}_{n\geq 1}$ 和 $\{\beta_n\}_{n\geq 1}$，则证明：只要 $u$ 或 $v$ 有一个 Fourier 系数为零，或者 $u$ 和 $v$ 都有非零 Fourier 系数且满足 $$\sum_{n\geq 1} |\alpha_n|^2 \log \frac{1}{|\alpha_n|} + |\beta_n|^2 \log \frac{1}{|\beta_n|} < \infty,$$ 那么 $T$ 就具有非平凡闭不变子空间。由此可得，若 $(p,q)\in (0,2]\times (0,2]$ 满足 $\sum_{n\geq 1} (|\alpha_n|^p + |\beta_n|^q )< \infty,$ 则只要 $$(p,q)\in (0,2]\times (0,2]\setminus \{(2, r), (r, 2):\; r\in(1,2]\},$$ 就证明了 $T$ 存在非平凡闭不变子空间。此外，只要这类算子 $T$ 不是单位算子的标量倍数，它们就具有非平凡闭超不变子空间。类似地，对于 $D_\Lambda$ 的有限秩扰动，也有相应的结果成立。这极大地改进了 Foia\c{s}、Jung、Ko 和 Pearcy、Fang 和 Xia 以及作者本人先前关于 Pearcy 在七十年代明确提出的一个公开问题的定理。