高阶数值域与量子信道的低秩扰动

对于正整数 $k$，作用在维数至少为 $k$ 的 Hilbert 空间 $\cH$ 上的算子 $A$ 的秩 -$k$ 数值域 $\Lambda_k(A)$ 定义为标量 $\lambda$ 的集合，使得存在某个秩为 $k$ 的正交投影 $P$ 满足 $PAP = \lambda P$。本文建立了算子 $A$ 的低秩扰动与 $\Lambda_k(A)$ 之间的紧密联系。特别地，对于 $1 \le r < k$，证明了对于任意满足 $\rank (F) \le r$ 的算子 $F$，均有 $\Lambda_k(A) \subseteq \Lambda_{k-r}(A+F)$。在量子计算中，这一结果意味着：若一个量子信道拥有 $k$ 维纠错码，则在受到秩 $\le r$ 的扰动后，它仍将拥有 $(k-r)$ 维纠错码。此外，还证明了若 $A$ 是正规算子或 $A$ 的维数有限，则 $\Lambda_k(A)$ 可表示为一组秩为 $r$ 的算子 $F$ 所对应的 $\Lambda_{k-r}(A+F)$ 的交集。文中给出了示例，表明若 $A$ 为一般算子，该结论不再成立。完全确定了凸集 $\Lambda_k(A)$ 的闭包与内部。对于定义为使得 $PAP = \lambda P$ 对某个无限秩正交投影 $P$ 成立的标量 $\lambda$ 的集合 $\Lambda_\infty(A)$，也获得了类似结果。证明了 $\Lambda_\infty(A)$ 是所有 $k = 1, 2, \dots$ 对应的 $\Lambda_k(A)$ 的交集。若对任意 $\mu \in \IC$，$A - \mu I$ 均非紧算子，则 $\Lambda_\infty(A)$ 的闭包与内部与 $A$ 的本质数值域的闭包与内部重合。本文还研究了当存在某个 $\mu \in \IC$ 使得 $A-\mu I$ 为紧算子这一特殊情形。