Bergman 空间上 Toeplitz 乘积的有限秩扰动

本文研究在 Bergman 空间上，两个具有拟齐次符号的 Toeplitz 算子的乘积的有限和何时是另一个 Toeplitz 算子的有限秩扰动。我们在拟齐次函数空间上发现了一种非交换卷积 $\diamond$，并用它来解决该问题。我们的主要结果表明，若 $F_j, G_j$（$1\leq j\leq N$）是 $z$ 与 $\bar{z}$ 的多项式，则对于某个 $L^{1}$ 函数 $H$，$\sum_{j=1}^{N}T_{F_j}T_{G_j}-T_{H}$ 是有限秩算子当且仅当 $\sum_{j=1}^{N}F_j\diamond G_j$ 属于 $L^1$ 且 $H=\sum_{j=1}^{N}F_j\diamond G_j$。在 $F_j$ 为全纯且 $G_j$ 为共轭全纯的情形下，证明了 $H$ 是带约束的一阶偏微分方程组的解。