Toeplitz算子、$\mathbb{T}^m$-不变性与拟齐次符号

对于$n$的一个分拆$\boldsymbol{k} = (k_1, \dots, k_m)$，考虑块对角嵌入于$\mathrm{U}(n)$中的群$\mathrm{U}(\boldsymbol{k}) = \mathrm{U}(k_1) \times \dots \times \mathrm{U}(k_m)$及其中心$\mathbb{T}^m$。我们研究作用于单位球$\mathbb{B}^n$上加权Bergman空间的具有$\mathbb{T}^m$-不变符号的Toeplitz算子。我们引入$(\boldsymbol{k},j)$-拟径向拟齐次符号，即那些在由$\mathrm{U}(\boldsymbol{k})$将因子$\mathrm{U}(k_j)$替换其中心$\mathbb{T}$所得的群$\mathrm{U}(\boldsymbol{k},j,\mathbb{T})$下不变的符号。这些符号被用于构建由Toeplitz算子生成的交换Banach非$C^*$代数。这些代数推广了文献中的结果，并表明它们可借助群来构建。我们通过涉及符号的显式积分公式描述了此类Toeplitz算子对单项式的作用。我们证明每个具有$\mathbb{T}^m$-不变符号的Toeplitz算子都存在一个关联的具有$\mathrm{U}(\boldsymbol{k})$-不变符号的Toeplitz算子，借此可描述某些性质。