I 型 Cartan 域上类径向 Toeplitz 算子

设 $\mathrm{D}^\mathrm{I}_{n \times n}$ 为 I 型 Cartan 域，由满足 $Z^*Z < I_n$ 的复 $n \times n$ 矩阵 $Z$ 组成。对符号 $a \in L^\infty(\mathrm{D}^\mathrm{I}_{n \times n})$，我们考虑三类类径向条件：1) 左（右）$\mathrm{U}(n)$-不变符号，可由条件 $a(Z) = a\big((Z^*Z)^\frac{1}{2}\big)$（相应地 $a(Z) = a\big((ZZ^*)^\frac{1}{2}\big)$）定义；2) $\mathrm{U}(n) \times \mathrm{U}(n)$-不变符号，由对每对 $A, B \in \mathrm{U}(n)$ 满足 $a(A^{-1}ZB) = a(Z)$ 定义。我们证明，当 $n \geq 2$ 时，这些给出不同的符号集合。若 $a$ 满足 1)（左或右）且 $b$ 满足 2)，则我们证明相应 Toeplitz 算子 $T_a$ 与 $T_b$ 在每个加权 Bergman 空间上交换。此外，在满足 1)（左或右）的符号中，当 $n \geq 2$ 时存在符号 $a$ 使其相应 Toeplitz 算子 $T_a$ 非正规。我们利用这些事实证明了当 $n \geq 2$ 时存在由 Toeplitz 算子生成的交换 Banach 非-$C^*$ 代数。