III型Cartan域上交换Toeplitz算子与矩映射

设 $D^{III}_n$ 与 $\mathscr{S}_n$ 为 III 型 Cartan 域，分别由满足 $Z\overline{Z} < I_n$ 与 $\mathrm{Im}(Z) > 0$ 的对称 $n \times n$ 复矩阵 $Z$ 构成。对于这些域，我们研究加权 Bergman 空间及作用其上的 Toeplitz 算子。我们考虑 Abel 群 $\mathbb{T}$、$\mathbb{R}_+$ 与 $\mathrm{Symm}(n,\mathbb{R})$（对称 $n \times n$ 实矩阵）及其在 III 型 Cartan 域上的作用。我们称相应作用为 Abel 椭圆、Abel 双曲与抛物型。计算了这三类作用的矩映射，并利用它们的函数（矩映射符号）构造由 Toeplitz 算子生成的交换 $C^*$-代数。这导致了对单位圆盘已知结果的自然推广。我们还计算了对应于 Abel 椭圆与抛物情形的 Toeplitz 算子的谱积分公式。