关于 $\ell^2-$ 价 Bergman 空间上具有 $BMO^1_{\alpha}$ 算子值符号的 Toeplitz 算子分析

我们研究了作用于单位球 $\mathbb B_n$ 上 $\ell^2-$ 价 Bergman 空间 $A^2_\alpha (\mathbb B_n, \ell^2)$ 上的紧算子——具有 $BMO^1_\alpha (\mathbb B_n, \mathcal L(\ell^2))$ 算子值符号的 Toeplitz 算子。首先，我们描述了一种限制到有限维的 метод，以便应用 Rahm 和 Wick 先前的结果；然后我们给出一个在 $A^2_\alpha (\mathbb B_n, \ell^2)$ 上具有紧性的 Toeplitz 算子的显式实例。其次，我们应用 Rahm 在无限维中建立的两种充分紧凑性条件。第一种条件以 Toeplitz 代数 $\mathcal T_{L^\infty_{fin}}$ 为依据；第二种条件以足够局部化算子为依据，且被第一种条件所隐含。为获得第二种条件，我们额外假设符号及其伴随算子属于 $BMO^1_\alpha (\mathbb B_n, \mathcal L(\ell^2, \ell^1)).$。最后，鼓励 Xia 和 Sadeghi-Zorboska，我们提出了关于是否成立逆向含义的问题。