Bergman空间上Toeplitz算子亚正规性的一个新必要条件

C. Cowen的一个著名结果指出，对于符号$\varphi \in L^{\infty }$，$\varphi \equiv \bar{f}+g \;\;(f,g\in H^{2})$，作用在单位圆Hardy空间上的Toeplitz算子$T_{\varphi }$是亚正规的当且仅当$f=c+T_{\bar{h}}g$，其中$c\in {\mathbb C}$，$h\in H^{\infty }$，$\left\| h\right\| _{\infty}\leq 1$。本文考虑该结果在Bergman空间情形下的可能版本。具体地，我们考虑单位圆盘Bergman空间上的Toeplitz算子，其符号形式为$$\varphi \equiv \alpha z^n+\beta z^m +\gamma \overline z ^p + \delta \overline z ^q,$$其中$\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{C}$，$m,n,p,q \in \mathbb{Z}_+$，$m < n$且$p < q$。通过让$T_{\varphi}$作用在形如$$z^k+c z^{\ell}+d z^r \; \; (k<\ell<r)$$的向量上，我们研究当$k \rightarrow \infty$时适当内积矩阵的渐近行为。结果得到了一个涉及上述数据的尖锐不等式：$$\left|\alpha \right|^2 n^2 + \left|\beta \right|^2 m^2 - \left|\gamma \right|^2 p^2 - \left|\delta \right|^2 q^2 \ge 2 \left|\bar \alpha \beta m n - \bar \gamma \delta p q \right|.$$该不等式改进了许多现有结果，并旨在作为单复变量或多复变量Bergman空间上Toeplitz算子组联合亚正规性基本必要条件的先导。