Bergman 空间上 Toeplitz 算子的迹估计及其在复合算子中的应用

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{C}$ 的子域，$\mu$ 为 $\Omega$ 上的正 Borel 测度。本文研究作用于 $\Omega$ 上 Bergman 空间的紧 Toeplitz 算子 $T_\mu$ 特征值的渐近行为。令 $(\lambda_n(T_\mu))$ 为 $T_\mu$ 特征值的递减序列，$\rho$ 为增函数使得对某个 $A>0$ 有 $\rho (n)/n^A$ 递减。我们给出 $\mu$ 上显式的充要条件几何条件，以使 $\lambda_n(T_\mu)\asymp 1/\rho (n)$。作为应用，我们考虑作用于单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上某些标准解析空间的复合算子 $C_\varphi$。首先，我们给出确保 $C_\varphi$ 奇异值满足 $s_n(C_\varphi ) \asymp 1/\rho(n)$ 的一般判据。接着，我们将注意力集中于具有单叶符号的复合算子，用 $\varphi(\mathbb{D})$ 的调和测度表述我们的一般判据。最后我们研究 $\partial \varphi (\mathbb{D})$ 与单位圆交于一点的情况，并给出若干具体例子。我们的方法基于 $h(T_\mu)$ 迹的上下估计，其中 $h$ 为适当的凹或凸函数。