重尾自归一化随机向量的二次型及其在α重尾马辰科斯-帕斯图尔律中的应用

设 $\mathbf{x}$ 为具有n个独立同分布实值组成部分的随机向量，且落在α稳定分布的引导域内，其中$\alpha\in(0,2)$。令 $\mathbf{y}=\mathbf{x}/\|\mathbf{x}\|_2$ 为其在单位球面上的相关自归一化向量。对于一个（可能是随机的）Hermitian矩阵 $\mathbf{A}_n=\big(a_{ij}^{(n)}\big)$且独立于 $\mathbf{y}$，我们研究二次型 $\mathbf{y}^\top \mathbf{A}_n \mathbf{y}$的渐近分布。在该重尾情境下，我们基于对角项和非对角项贡献之间的尖锐分离，指出在 $\mathbf{A}_n$非对角部分范数受 mild 假设下，极限分布仅由对角条目经验分布和指数$\alpha$决定。更精确地说，如果 $n^{-1}\sum_{i=1}^n \delta_{a^{(n)}_{ii}}$ 在几乎必然意义下收敛到确定性 $\nu$，则 $Q_n$ 在分布意义下收敛到一个非退化分布 $\mu_{\nu,\alpha}$，其通过其 Stieltjes 变换进行特征化。分布 $\mu_{\nu,\alpha}$ 被证明是无原子的（前提是 $\nu$ 为非退化的），具有显式密度和可解析的尾部行为。作为随机矩阵理论的应用，我们推导了重尾样本相关矩阵的α重尾马辰科斯-帕斯图尔律 $H_{\alpha,\gamma}$的隐式 resolvent 基于表示，并证明 $H_{\alpha,\gamma}$ 在除原点之外没有原子。为与轻尾情境比较，我们也提供了当 $\mathbf{x}$ 组件为子高斯时 $\mathbf{y}^\top \mathbf{A}_n \mathbf{y}$的 Hanson-Wright 类型浓度不等式。