通过 Dirichlet 型研究律的正则性——在独立同分布随机变量二次型上的应用

我们研究二次型 $Q(X,X)$ 的律的正则性,其中 $X = (X_{i})$ 为独立同分布随机变量序列,且当 $X_{1}$ 可表示为某个高斯场的充分光滑函数时。该设定涵盖了一大类和重要且常用的分布,例如高斯分布、Beta 分布(如均匀分布)、Gamma 分布,以及它们的任意多项式变换。我们给出一个标志性应用。取 $X = (X_{i})$ 为独立同分布、零均值、单位方差且服从此类分布的随机变量序列。再考虑二次型序列 $(Q_{n})$,其对应的对称 Hilbert--Schmidt 算子为 $(\mathsf{A}^{(n)})$。假设 $\operatorname{Tr}[ (\mathsf{A}^{(n)})^{2} ] = 1/2$,$\mathsf{A}^{(n)}_{ii} =0$,且 $\mathsf{A}^{(n)}$ 的谱半径趋于 $0$。则 $(Q_{n}(X))$ 在强意义下收敛于标准高斯分布。即,对于充分大的 $n$ 有良好定义的密度函数的所有导数,在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛于标准高斯密度的相应导数。经典的 Malliavin 微积分或 $\Gamma$-演算方法通常通过界定所谓的\emph{平方场}(carr\'e du champ)算子 $\Gamma(Q(X),Q(X))$ 的负矩,我们则通过一个涉及与 $Q(X)$ 相关的 Hessian 型矩阵特征值的二阶判据提供了新范式。该 Hessian 是通过对一个特制梯度——即由平方场的高斯表示得到的\emph{锐算子}(sharp operator) $\sharp$——迭代两次而构建的。我们认为,作者在当前论文及其姊妹篇 [AoP 52 n{\deg}3 (2024)] 中近期发展的这一方法具有独立意义,并可能在其他设定中证明有用。