单尖峰复 Wishart 矩阵的特征向量:有限与渐近分析

令 $\mathbf{W}\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 为单尖峰(single-spiked) Wishart 矩阵,属于类 $\mathbf{W}\sim \mathcal{CW}_n(m,\mathbf{I}_n+ \theta \mathbf{v}\mathbf{v}^\dagger)$,其中 $m\geq n$,$\mathbf{I}_n$ 为 $n\times n$ 单位矩阵,$\mathbf{v}\in\mathbb{C}^{n\times 1}$ 为任意单位欧几里得范数向量,$\theta\geq 0$ 为非随机参数,$(\cdot)^\dagger$ 表示共轭转置算子。令 $\mathbf{u}_1$ 和 $\mathbf{u}_n$ 分别表示对应于 $\mathbf{W}$ 最小和最大特征值的特征向量。本文研究随机变量 $Z_{\ell}^{(n)}=\left|\mathbf{v}^\dagger\mathbf{u}_\ell\right|^2\in(0,1)$($\ell=1,n$)的概率密度函数(p.d.f.)。特别地,我们推导了 $Z_{1}^{(n)}$ 的有限维闭式 p.d.f.,该式便于在 $m,n$ 发散且 $m-n$ 固定时进行渐近分析。结果表明,在此渐近 regime 下,缩放随机变量 $nZ_{1}^{(n)}$ 依分布收敛于 $\chi^2_2/2(1+\theta)$,其中 $\chi_2^2$ 表示自由度为 2 的卡方随机变量。这揭示了 $\mathbf{u}_1$ 可用于推断关于尖峰的信息。另一方面,$Z_{n}^{(n)}$ 的有限维 p.d.f. 表示为一个二重积分,其被积函数包含一个维数为 $(n-2)$ 的方阵的行列式。尽管该二重积分的简洁解似乎难以处理,但对于 $n=2,3,4$ 的特殊配置,我们获得了闭式表达式。