与秩 -1 均值复非中心 Wishart 矩阵特征值相关的三个问题

最近，D. Wang 提出了一种基于围道积分的新方法来简化某些矩阵积分。利用该方法，我们推导出了具有秩 -1 均值的复非中心 Wishart 矩阵联合特征值的概率密度函数 (p.d.f.) 的新表达式。所得的函数形式使我们能够利用强大的经典正交多项式技术来解决与非中心 Wishart 矩阵相关的三个问题。具体而言，对于具有 $m$ 个自由度 ($m\geq n$) 和秩 -1 均值的 $n\times n$ 复非中心 Wishart 矩阵 $\mathbf{W}$，我们推导出了最小特征值 ($\lambda_{\min}$) 的累积分布函数 (c.d.f.) 的新表达式。该 c.d.f. 表示为一个方阵的行列式，其阶数仅取决于差值 $m-n$。这进一步促进了对最小特征值微观极限的分析，该极限表现为具有 Bessel 核的 $m-n$ 阶方阵的行列式。我们还开发了一种基于矩生成函数的方法来推导随机变量 $\frac{\text{tr}(\mathbf{W})}{\lambda_{\min}}$ 的 p.d.f.，其中 $\text{tr}(\cdot)$ 表示方阵的迹。该随机量在所谓的 Demmel 条件数的平滑分析中具有重要意义。最后，我们求得了特征多项式倒数 $\det[z\mathbf{I}_n+\mathbf{W}],\; |\arg z|<\pi$ 的平均值，其中 $\mathbf{I}_n$ 和 $\det[\cdot]$ 分别表示 $n$ 阶单位矩阵和行列式。