单尖峰复 Wishart 矩阵缩放条件数的分布

设 $\mathbf{X}\in\mathbb{C}^{n\times m}$（$m\geq n$）为随机矩阵，其各列独立，且均服从零均值、{\it 单尖峰}协方差矩阵 $\mathbf{I}_n+ \eta \mathbf{u}\mathbf{u}^*$ 的复多元高斯分布，其中 $\mathbf{I}_n$ 为 $n\times n$ 单位矩阵，{\color{blue}$\mathbf{u}\in\mathbb{C}^{n\times 1}$} 为任意具有单位欧几里得范数的向量，$\eta\geq 0$ 为非随机参数，$(\cdot)^*$ 表示共轭转置。本文研究随机量 $\kappa_{\text{SC}}^2(\mathbf{X})=\sum_{k=1}^n \lambda_k/\lambda_1$ 的分布，其中 {\color{blue}$0\le \lambda_1\le \lambda_2\le \ldots\leq \lambda_n<\infty$} 为 $\mathbf{X}\mathbf{X}^*$ （即单尖峰 Wishart 矩阵）的有序特征值。该随机量与所谓的{\it 缩放条件数}或 Demmel 条件数（即 $\kappa_{\text{SC}}(\mathbf{X})$）以及固定迹 Wishart-Laguerre 系综的最小特征值（即 $\kappa_{\text{SC}}^{-2}(\mathbf{X})$）密切相关。特别地，我们采用正交多项式方法导出 $\kappa_{\text{SC}}^2(\mathbf{X})$ 概率密度函数的精确表达式，该表达式便于在矩阵维数趋于很大时进行渐近分析。我们的渐近结果表明，当 $m,n\to\infty$ 且 $m-n$ 固定、$\eta$ 以 $1/n$ 量级缩放时，$\kappa_{\text{SC}}^2(\mathbf{X})$ 以 $n^3$ 量级缩放。就此我们建立了极限分布的简单闭式表达式。{\color{blue}结果表明，当 $m,n\to\infty$ 且 $n/m\to c\in(0,1)$ 时，适当居中的 $\kappa_{\text{SC}}^{2}(\mathbf{X})$ 在 $m^{\frac{1}{3}}$ 尺度上波动}。