Demmel 及相关条件数的分布

考虑一个随机矩阵 $\mathbf{A}\in\mathbb{C}^{m\times n}$（$m \geq n$），其包含独立同分布的复高斯条目，均值为零且方差为单位方差，令 $0<\lambda_1\leq \lambda_{2}\leq ...\leq \lambda_n<\infty$ 表示 $\mathbf{A}^{*}\mathbf{A}$ 的特征值，其中 $(\cdot)^*$ 表示共轭转置。本文研究了随机变量 $\frac{\sum_{j=1}^n \lambda_j}{\lambda_k}$ 的分布，其中 $k = 1$ 和 $k = 2$。这两个变量与某些条件数度量相关，包括所谓的 Demmel 条件数，已证明它们出现在各种应用中。对于这两种情况，我们推导了概率密度的新精确表达式，并建立了矩阵维度增大时的渐近行为。特别是，研究表明当 $n$ 和 $m$ 趋于无穷大且其差值固定时，两个密度的缩放阶数均为 $n^3$。经过适当的变换，我们建立了渐近密度的精确表达式，并在某些情况下获得了简单的闭式表达式。我们的结果推广了 Edelman 关于 $m = n$ 情况下 Demmel 条件数的工作。