关于随机矩阵幂的奇异值渐近分布

我们考虑具有独立元素的随机矩阵的幂。设$X_{ij}, i,j\ge 1$为独立的复随机变量，满足$\E X_{ij}=0$和$\E |X_{ij}|^2=1$，并令$\mathbf X$表示一个$n\times n$矩阵，其中$[\mathbf X]_{ij}=X_{ij}$，对于$1\le i, j\le n$。记$s_1^{(m)}\ge...\ge s_n^{(m)}$为随机矩阵$\mathbf W:={n^{-\frac m2}} \mathbf X^m$的奇异值，并通过$$\mathcal F_n^{(m)}(x)=\frac1n\sum_{k=1}^nI_{\{{s_k^{(m)}}^2\le x\}}$$定义平方奇异值的经验分布，其中$I_{\{B\}}$表示事件$B$的指示函数。我们证明，在四阶矩的Lindeberg条件下，期望谱分布$F_n^{(m)}(x)=\E \mathcal F_n^{(m)}(x)$收敛到由矩$$\alpha_k(m):=\int_{\mathbb R}x^k\,d\,G(x)=\frac {1}{mk+1}\binom{km+k}{k}$$定义的分布函数$G^{(m)}(x)$。