受限De Bruijn指标与De Bruijn层级下λ项中的变量分布

我们研究λ项两个特殊子类中的变量数：一类由变量与其绑定lambda之间的抽象数（即所谓De Bruijn指标）的上界限制，另一类由抽象嵌套层级数（即De Bruijn层级数）限制。这些限制一方面从实用角度看十分自然，另一方面相较无限制λ项的计数问题有所简化，使解析组合学的通用方法得以适用。我们将展示，对两类λ项子类，变量总数均渐近正态分布，其均值与方差分别渐近等于 $Cn$ 与 $\tilde{C}n$，其中常数 $C$ 与 $\tilde{C}$ 依赖于所施加的界。迄今我们仅对受限De Bruijn指标的λ项类推导出了常数的闭式。然而，对我们所考虑的另一类λ项——即具受限De Bruijn层级数的λ项——我们考察了不同De Bruijn层级中的变量数，以及抽象与应用数，并由此揭示出一种呈现非常有趣形状的所谓“一元轮廓”。