大型非对称相关 Wishart 矩阵的谱域

我们研究了为非对称相关矩阵定义的 Wishart 模型的复特征值。该模型定义为两个统计等价但不同的高斯实矩阵 $\mathsf{C}=\mathsf{AB}^{t}/T$，其中 $\mathsf{B}^{t}$ 是 $\mathsf{B}$ 的转置，且矩阵 $\mathsf{A}$ 和 $\mathsf{B}$ 的维数均为 $N\times T$。我们考虑了矩阵间的{\it 实际}相关性，使得在系综平均下 $\mathsf{C}$ 不为零。我们在 $N$ 和 $T$ 趋于无穷大且比值 $N/T$ 有限的极限下，推导了 $\mathsf{C}$ 谱密度的回路方程。实际相关性改变了 $\mathsf{C}$ 的复特征值，从而改变了其特征值域，这与 $\mathsf{C}$ 为零或 $\mathsf{A}$ 和 $\mathsf{B}$ 不相关时的已知结果不同。利用回路方程，我们推导出了描述 $\mathsf{C}$ 特征值主体域轮廓的结果。如果非零相关矩阵是对角的且具有相同的元素 $c\ne0$，则该轮廓不再是中心在原点的圆，而是一个平移的椭圆。在这种情况下，回路方程是解析可解的，我们明确推导出了谱密度的结果。对于更一般的情况，我们的解析结果表明，如果非零相关矩阵是非对称的，则轮廓取决于其对称部分和反对称部分。另一方面，如果它是对称的，则轮廓仅取决于相关矩阵的谱。我们还提供了数值结果以验证我们的解析推导。