实 Ginibre 系综的最大实特征值分布

设 $\sqrt{N}+\lambda_{max}$ 为具有独立 $N(0,1)$ 项（即“实 Ginibre 矩阵”）的随机 $N\times N$ 矩阵的最大实特征值。我们研究了平移最大实特征值 $\lambda_{max}$ 的极限 $N\rightarrow \infty$ 分布 $P[\lambda_{max}<t]$ 的大偏差行为。特别地，我们证明了该分布的右尾为高斯型：对于 $t>0$，$$P[\lambda_{max}<t]=1-\frac{1}{4}\mbox{erfc}(t)+O\left(e^{-2t^2}\right).$$ 这是对 Forrester 和 Nagao 相应结果的严格确认。我们还证明了左尾是指数型的：对于 $t<0$，$$P[\lambda_{max}<t]= e^{\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\zeta\left(\frac{3}{2}\right)t+O(1)},$$ 其中 $\zeta$ 为黎曼 zeta 函数。我们的结果对相互作用粒子系统有意义。实 Ginibre 系综的实特征值规律的边缘缩放极限是具阶跃初始条件的湮灭布朗运动（ABM's）在固定时刻分布的重标度。因此，分布 $X_s^{(max)}$（固定时间 $s>0$ 时最右侧湮灭粒子的位置）的尾行为可利用 $X_s^{(max)}\stackrel{D}{=} \sqrt{4s}\lambda_{max}$ 从 $\lambda_{max}$ 的相应答案读出。