实 Ginibre 系综中的最大实特征值及其与 Zakharov-Shabat 系统的关系

实 Ginibre 系综由 $n\times n$ 实矩阵 ${\bf X}$ 构成，其元素为独立同分布的标准正态随机变量。与复 Ginibre 系综和四元数 Ginibre 系综形成鲜明对比的是，实 Ginibre 系综中的实特征值具有正概率。进而，实 Ginibre 矩阵 ${\bf X}$ 的特征值 $z_j({\bf X})\in\mathbb{C}$ 的谱半径 $R_n=\max_{1\leq j\leq n}|z_j({\bf X})|$，在 $z_j({\bf X})\in\mathbb{R}$ 与 $z_j({\bf X})\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ 时遵循不同的极限律（当 $n\rightarrow\infty$）。基于 Rider、Sinclair \cite{RS} 以及 Poplavskyi、Tribe、Zaboronski \cite{PTZ} 的先前工作，我们证明了 $\max_{j:z_j\in\mathbb{R}}z_j({\bf X})$ 的极限分布可表示为 Zakharov-Shabat 系统反散射问题中一个特殊解的闭式表达式。作为我们分析的余果，我们还获得了 $\max_{j:z_j\in\mathbb{R}}z_j({\bf X})$ 极限分布的一个新的行列式表示，并通过非线性最速下降技术推广了 \cite{PTZ} 中近期的尾部估计。