截断圆酉矩阵的谱半径

考虑一个 $p_n \times p_n$ 的截断圆酉矩阵，它是通过删除 $n \times n$ 圆酉矩阵的最后 $n-p_n$ 列和行而得到的子矩阵。Jiang 和 Qi (2017) 证明了，如果 $p_n/n$ 远离 $0$ 和 $1$，则该截断矩阵特征值的最大绝对值（即谱半径）在适当归一化后依分布收敛于 Gumbel 分布。在本文中，我们在以下四个条件之一的情况下研究了谱半径的极限分布：(1). 当 $n\to\infty$ 时，$p_n\to\infty$ 且 $p_n/n\to 0$；(2). 当 $n\to\infty$ 时，$(n-p_n)/n\to 0$ 且 $(n-p_n)/(\log n)^3\to\infty$；(3). 当 $n\to\infty$ 时，$n-p_n\to\infty$ 且 $(n-p_n)/\log n\to 0$；以及 (4). $n-p_n=k\ge 1$ 为固定整数。我们证明了在前三个条件下，谱半径依分布收敛于 Gumbel 分布；在第四个条件下，依分布收敛于反 Weibull 分布。