复高斯扰动的私有协方差近似与特征值间隙界

我们考虑在$(\varepsilon,\delta)$-差分隐私下用秩-$k$矩阵近似$d \times d$协方差矩阵$M$的问题。我们提出并分析了高斯机制的复变体，并证明当$M$的第$k$个与第$k+1$个特征值之间存在适当大的间隙时，该机制输出的矩阵与$M$的最佳秩-$k$近似之差的Frobenius范数被大致界为$\tilde{O}(\sqrt{kd})$。这改进了先前工作要求$M$的前$k$个特征值中每对特征值的间隙至少为$\sqrt{d}$才能获得类似界的工作。我们的分析利用了复矩阵布朗运动的本征值比实情形更互斥这一事实，并使用支配其特征值演化的Dyson随机微分方程来证明：被复高斯噪声扰动的矩阵$M$的特征值以高概率具有大间隙。我们的结果有助于平均情形扰动下低秩近似的分析，并有助于理解随机矩阵的特征值间隙，这本身可能具有独立意义。