重新分析Gauss：基于Dyson布朗运动的隐私矩阵近似界

给定对称矩阵$M$和向量$\lambda$，在$(\varepsilon,\delta)$-差分隐私下，我们给出了Gaussian机制以谱为$\lambda$的矩阵近似$M$的Frobenius距离效用的新的界。我们的界依赖于$\lambda$及$M$特征值中的间隙，且在$M$的前$k+1$个特征值具有足够大间隙时成立。当应用于隐私秩-$k$协方差矩阵近似与子空间恢复问题时，我们的界改进了先前的界。我们的界是通过将Gaussian噪声的添加视为连续时间矩阵布朗运动而获得的。这一观点使我们能够追踪由Dyson发现的随机微分方程所支配的矩阵特征值与特征向量的演化。这些方程允许我们将效用界定为特征向量扰动的平方和的平方根，而非通过Davis-Kahan型定理获得的扰动界之和。