协方差矩阵的隐私低秩近似、Dyson Brownian Motion 与高斯扰动的特征值间隙界

我们考虑在 $(\varepsilon,\delta)$-差分隐私下，用秩为 $k$ 的矩阵近似一个 $d \times d$ 协方差矩阵 $M$ 的问题。我们提出并分析了一种高斯机制的复数变体，并获得了该机制输出的矩阵与 $M$ 的最佳秩 $k$ 近似之间差值的 Frobenius 范数上界。我们的分析改进了先前的界限，特别是当 $M$ 的谱满足自然结构假设时。其新颖之处在于将向矩阵添加高斯噪声视为连续时间矩阵 Brownian motion。这一观点使我们能够追踪矩阵特征值与特征向量的演化，该演化由 Dyson 发现的随机微分方程所支配。这些方程使我们能够将 $M$ 的最佳秩 $k$ 近似与 $M$ 的高斯扰动之间的 Frobenius 距离上界表示为一个包含随机演化矩阵逆特征值间隙的积分，而非通过 Davis-Kahan 型定理获得的扰动界限之和。随后，同样利用 Dyson Brownian motion 的观点，我们证明了被高斯噪声扰动的矩阵 $M$ 的特征值以高概率具有较大间隙。这些结果也有助于分析平均情况扰动下的低秩近似，以及理解随机矩阵的特征值间隙，这两者可能具有独立的意义。