关于纯隐私协方差估计

我们提出了一种用于在纯差分隐私下发布 $d$ 维协方差矩阵 $\Sigma$ 的简单扰动机制。对于至少包含 $n\geq d^2/\varepsilon$ 个元素的大数据集，我们的机制在保真范数误差保证方面实现了 \cite{nikolov2023private} 所述的可证最优性能，同时在所有其他 $p$-Schatten 范数上也实现了已知的最佳误差，其中 $p\in [1,\infty]$。我们的误差在 $p\ge 2$ 时是信息论上最优的，特别是我们的方法是首个在谱范数下实现最优误差的纯隐私协方差估计器。对于小数据集 $n< d^2/\varepsilon$，我们进一步表明，通过将输出投影到合适半径的核范数球中，该算法可实现最优的保真范数误差 $O(\sqrt{d\;\text{Tr}(\Sigma) /n})$，超越了 \cite{nikolov2023private} 的 $O(\sqrt{d/n})$ 界限以及 \cite{dong2022differentially} 的 ${O}\big(d^{3/4}\sqrt{\text{Tr}(\Sigma)/n}\big)$ 界限。