关于整数矩阵的特征值间隙

给定一个 $n\times n$ 且元素在 $[-h,h]$ 范围内的整数矩阵，其两个不同特征值可以有多接近？此前已知的最佳例子具有 $h^{-O(n)}$ 的最小间隙。此处我们给出元素的在 $[0,h]$ 中的矩阵的显式构造，其两个特征值相隔至多 $h^{-n^2/16+o(n^2)}$。除去指数中的常数因子，这与已知的 $\Omega((2\sqrt{n})^{-n^2}h^{-n^2})$ 下界一致 \cite{mahler1964inequality}。最小间隙的界与整数矩阵对角化及计算标准型算法的最坏情况分析相关。除显式构造外，我们证明存在许多具有略大间隙（约 $h^{-n^2/32}$）的矩阵。我们还构造了 0-1 矩阵，其两个特征值相隔至多 $2^{-n^2/64+o(n^2)}$。