通过符号向量与对偶性研究符号模式的最小秩

符号模式矩阵 (sign pattern matrix) 是指其元素取自集合 $\{+,-, 0\}$ 的矩阵。符号模式矩阵 $A$ 的最小秩是指所有实矩阵中秩的最小值，这些实矩阵的元素符号与 $A$ 的对应元素符号相同。本文表明，对于任何最小秩为 $n-2$ 的 $m \times n$ 符号模式 $A$，最小秩的有理实现是可能的。这是通过一种涉及符号向量和对偶性的新方法完成的。研究表明，对于每个整数 $n\geq 9$，存在一个非负整数 $m$，使得存在一个最小秩为 $n-3$ 的 $n\times m$ 符号模式矩阵，其有理实现是不可能的。本文给出了最小秩为 $n-1$ 的 $m\times n$ 符号模式 $A$ 的刻画（解决了 Brualdi 等人 \cite{Bru10} 中的一个开放问题），并根据某些子空间的符号向量，对最小秩为 $r$ 的符号模式进行了更一般的描述。获得了关于 $\mathbb R^n$ 中 $k$ 维子空间的符号向量最大和最小数量的若干结果。特别是，证明了 $\mathbb R^n$ 中 $2$ 维子空间的符号向量最大数量为 $4n+1$。文中还陈述了几个相关的开放问题。