用于高效计算无歧义有限自动机秩的谱方法与组合方法

零一矩阵指具有 $\{0, 1\}$ 条目的矩阵。我们研究仅包含此类矩阵的单子。一组零一矩阵构成的有限集合可视为无歧义有限自动机的矩阵表示，这是确定性有限自动机的一个重要推广，分享许多良好属性。设 $\mathcal{A}$ 为生成零一矩阵单子的 $n \times n$ 零一矩阵的有限集合，$m$ 为 $\mathcal{A}$ 的基数。我们研究计算生成的单子中矩阵最小秩的计算复杂性。通过使用线性代数技术，我们显示该问题在 $\textsf{NC}$ 中，可以在 $\mathcal{O}(mn^4)$ 时间内解决。我们还提供一种组合算法，在 $\mathcal{O}(n^{2 + \omega} + mn^4)$ 时间内找到最小秩矩阵，其中 $2 \le \omega \le 2.4$ 为矩阵乘法指数。作为副产品，我们证明了一个弱版本的Černý 猜想的一个推广：总是存在大小为 $\mathcal{O}(n^2)$ 的直线程序描述得到最小秩矩阵的乘积。对于对应总 DFA 的特殊情况（即所有矩阵在每行恰有一个 1 的情况），最小秩是该集合所有状态在单词作用下最小映像的大小。在这种情况下，我们的组合算法在 $\mathcal{O}(n^3 + mn^2)$ 时间内找到最小秩矩阵。