从更少条目进行矩阵补全：谱可检测性与秩估计

从少量条目补全低秩矩阵是一项具有许多实际应用的任务。我们在此考虑该问题的两个方面：可检测性，即从尽可能少的随机条目可靠估计秩 $r$ 的能力，以及实现较小重构误差的性能。我们针对这两个任务提出一种称为 MaCBetH（即 Matrix Completion with the Bethe Hessian）的谱算法。该秩被估计为 Bethe Hessian 矩阵的负特征值数量，相应的特征向量被用作最小化估计矩阵与已揭示条目之间差异的初始条件。我们利用 Hopfield 神经网络的统计力学结果在随机矩阵设置中分析其性能，并特别表明 MaCBetH 能高效地从 $C(r)r\sqrt{nm}$ 个条目中检测出大 $n\times m$ 矩阵的秩 $r$，其中 $C(r)$ 是一个接近于 $1$ 的常数。我们还经验性地评估了相应的均方根误差，并表明 MaCBetH 优于其他现有方法。