利用定向拟阵在非线性存在下寻找低秩结构

在噪声存在下估计数据集的线性维数是一个常见问题。然而，数据也可能受到单调非线性失真的影响，这种失真保留了矩阵条目的顺序，但导致用于估计秩的线性方法失效。鉴于此，我们考虑了计算“底层秩”（与矩阵条目排序一致的最低秩）和“单调秩”（与列内排序一致的最低秩）的问题。我们证明，每个单调秩为d的矩阵对应于ℝ^d中的一个点排列和一个超平面排列，并且矩阵列内的排序可用于恢复关于这些排列的信息。利用Radon定理和VC维的相关概念，我们可以获得矩阵单调秩的下界。然而，我们也表明矩阵的单调秩可能超过这些界。为了获得更好的单调秩界，我们发展了单调秩估计与定向拟阵理论之间的联系。利用这种联系，我们证明单调秩难以计算：判断一个矩阵是否具有单调秩二的问题已经是NP难的。然而，我们引入了一个“定向拟阵完备化”问题作为单调秩问题的组合松弛，并证明检查一组符号向量是否具有拟阵完备化秩二是容易的。