由竞赛图产生的高秩矩阵集合

假设$\mathbb{F}$是一个域，并设$\mathbf{a} := (a_1, a_2, \dotsc)$是$\mathbb{F}$中非零元素的一个序列。对于$\mathbf{a}_n := (a_1, \dotsc, a_n)$，我们考虑由所有对角线元素为零且对于$i < j$，$M$的第$(i, j)$个元素为$a_i$或$a_j$的$n \times n$对称矩阵$M$构成的族$\mathcal{M}_n(\mathbf{a})$。在这篇短文中，我们证明了$\mathcal{M}_n(\mathbf{a})$的某个特定子类中的所有矩阵——该子类可以自然地与传递竞赛图相关联——其秩至少为$\lfloor 2n/3 \rfloor - 1$。我们还证明，如果$\operatorname{char}(\mathbb{F}) \neq 2$且$M$是从$\mathcal{M}_n(\mathbf{a})$中均匀随机选取的一个矩阵，那么以高概率有$\operatorname{rank}(M) \geq \bigl(\frac{1}{2} - o(1)\bigr)n$。