与小规模树宽图相关联的对称矩阵的高效对角化

设 $M=(m_{ij})$ 为阶数 $n$ 的对称矩阵，其元素属于任意域 $\mathbb{F}$，并设 $G$ 为顶点集为 $\{1,\ldots,n\}$ 的图，使得相异顶点 $i$ 与 $j$ 相邻当且仅当 $m_{ij} \neq 0$。我们引入一种动态规划算法，该算法寻找与 $M$ 相合的对角矩阵。若给定 $G$ 的一个宽度为 $k$ 的树分解 $\mathcal{T}$，则可在时间 $O(k|\mathcal{T}| + k^2 n)$ 内完成，其中 $|\mathcal{T}|$ 表示 $\mathcal{T}$ 中节点的数量。除其他外，这使得能够在时间 $O(k|\mathcal{T}| + k^2 n)$ 内计算对称矩阵的行列式、秩与惯性。