关于树的直径为七时最少特征值数的研究

给定图 $G$ 的对称矩阵 $M=(m_{ij})\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 的底图，其顶点集合为 $\{v_1,\ldots,v_n\}$，若 $i\neq j$ 且 $\{v_i,v_j\}$ 为一条边，当且仅当 $m_{ij}\neq 0$。给定图 $G$，记 $q(G)$ 为其底图的最少不同特征值数。若对称矩阵 $M$ 的底图为 $G$ 且具有 $q(G)$ 个不同特征值，则称 $M$ 为 $q(G)$ 的实现。对于树结构，Johnson 和 Saiago 于 [Johnson, C.R, and Saiago, C.M, Diameter Minimal Trees, Linear and Multilinear Algebra 64(3) (2015), 557--571.] 提出一种方法，通过构造直径相同的较小树（即种子）来构建较大树的实现，该方法已被证明非常成功。本文讨论直径为七的树 $q(T)$ 的实现及其种子，纠正了前述文献中的一项结果。