树的光谱任意性彻底失效

若 $G$ 为图且 $\mathbf{m}$ 为至少被一个具有图 $G$ 的对称矩阵实现的 ordered multiplicity list（有序重数表），我们对于这些 $\mathbf{m}$ 的所有此类实现矩阵的特征值能说些什么？人们有时倾向于预期，尤其在 $G$ 为树时，任意间隔的多重特征值都应是可实现的。然而2004年，F. Barioli与S. Fallat给出了首个反例：一棵16个顶点的树与一个有序重数表，其每个实现特征值集均服从非平凡线性约束。我们扩展此结果，给出无穷族树与有序重数表，其实现特征值集受高度约束，至多5个自由度，而无论该族中树的大小。特别地，我们给出树的多重表施加非平凡非线性特征值约束的首批例子，并给出一个由唯一特征值集（至多平移与缩放）实现的有序重数表。