一种用于界定特征值重数之和的零强迫技术

给定图 $G$，人们可以问：“在 $G$ 的所有加权邻接矩阵上，可能的特征值集合是什么？”（边的权重为正或负，而对角元可为任意实数。）这被称为图的逆特征值问题（IEP-$G$）。该问题的一个温和松弛考虑重数表而非精确特征值本身。即，给定 $n$ 个顶点的图 $G$ 与 $n$ 的一个有序划分 $\mathbf{m}= (m_1, \ldots, m_\ell)$，是否存在加权邻接矩阵使得第 $i$ 个相异特征值的重数为 $m_i$？这被称为有序重数 IEP-$G$。近期工作解决了所有 6 顶点图的有序重数 IEP-$G$。在本工作中，我们在多种不同背景下为有序重数 IEP-$G$ 发展零强迫方法。具体而言，我们利用图幂上的零强迫参数来获得对连续重数的界。我们能够给出图的特征值重数之和的一般界。这包括对连续特征值重数之和的新界，以及对树的更具体界。利用这些结果，我们验证了上述关于六顶点图 IEP-$G$ 的先前结果。此外，将我们的技术应用于斜对称矩阵，我们能够确定连通五顶点图斜对称矩阵的所有可能有序重数表。