非零特征值重数与图的匹配数之间的关系

设 $G$ 为具有邻接矩阵 $A(G)$ 的图。$A(G)$ 的任意特征值 $\lambda$ 的重数记为 $m_\lambda(G)$。在 \cite{Wong} 中，作者应用 Pater-Wiener 定理证明：若树 $T$ 的直径至少为 $4$，则对任意 $\lambda\neq0$ 有 $m_\lambda(T)\leq \beta'(T)-1$。此外，他们刻画了所有满足 $m_\lambda(T)=\beta'(T)-1$ 的树，其中 $\beta'(G)$ 为 $G$ 的诱导匹配数。本文旨在将此结果从树推广到任意连通图。与 \cite{Wong} 所用技术相反，我们主要借助代数方法证明如下结果：对连通图 $G$ 的任意非零特征值 $\lambda$，$m_\lambda(G)\leq \beta'(G)+c(G)$，其中 $c(G)$ 为 $G$ 的圈数，且等号成立当且仅当 $G\cong C_3(a,a,a)$ 或 $G\cong C_5$，或直径至多为 $3$ 的树。进一步，若 $\beta'(G)\geq3$，我们刻画了所有满足 $m_\lambda(G)=\beta'(G)+c(G)-1$ 的连通图。