关于连通图的秩（零度）

图 $G$ 的秩 $r(G)$ 为其邻接矩阵 $A(G)$ 的秩，图 $G$ 的零度 $\eta(G)$ 为 $0$ 作为 $A(G)$ 特征值的重数。在本文中，我们证明：若 $G$ 是阶为 $n$、秩为 $r$ 的连通图，则 $G$ 包含一个阶为 $r$ 的非奇异连通诱导子图。作为该结果的应用，我们完全解决了 Zhou、Wong 与 Sun 在 [Linear Algebra and its Applications, 555 (2018) 314-320] 中提出的如下问题：设 $G$ 是阶为 $n$、零度为 $\eta(G)$、最大度为 $\Delta$ 的连通图，则 $$\eta(G)\le\frac{(\Delta-2)n+2}{\Delta-1},$$ 等号成立当且仅当 $G\cong C_n$ （$n\equiv 0$ $(mod\ 4)$）或 $G\cong K_{\Delta, \Delta}$。