有限域上具有受限元素的矩阵的行列式分布

对于素数幂 $q$，我们研究了在含有 $q$ 个元素的有限域 $\mathbbm{F}_q$ 上具有受限元素的矩阵的行列式分布。更确切地说，设 $N_d (\mathcal{A}; t)$ 为元素在 $\mathcal{A}$ 中且行列式为 $t$ 的 $d \times d$ 矩阵的数量。我们证明，如果 $|\mathcal{A}| = \omega(q^{\frac{d}{2d-1}})$ 且 $d\geqslant 4$，则 $$N_d (\mathcal{A}; t) = (1 + o (1)) \frac{|\mathcal{A}|^{d^2}}{q}。$$ 当 $q$ 为素数且 $\mathcal{A}$ 为对称区间 $[-H,H]$ 时，我们在 $d\geqslant 3$ 的情况下得到了相同的结果。这改进了 Ahmadi 和 Shparlinski (2007) 的结果。