矩阵之和的行列式分布

设 $\mathbb{F}_q$ 为阶为 $q$ 的任意有限域。在本文中，我们研究环 $M_2(\mathbb F_q)$（元素在 $\mathbb F_q$ 中的 $2\times 2$ 矩阵）中某些类型子集 $S$ 的 $\det S$。对 $i\in \mathbb{F}_q$，令 $D_i$ 为 $M_2(\mathbb F_q)$ 中由 $D_i := \{x\in M_2(\mathbb F_q): \det(x)=i\}$ 定义的子集。则我们的结果可表述如下。首先，我们证明当 $E$ 和 $F$ 分别为对某些 $i, j\in \mathbb{F}_q^*$ 的 $D_i$ 和 $D_j$ 的子集时，只要 $|E||F|\ge {15}^2q^4$，就有 $$\det(E+F)=\mathbb F_q,$$ 并给出具体构造说明我们的结果是紧的。接下来，作为第一结果的应用，我们研究当 $E, F$ 为乘积型子集，即在识别 $M_2(\mathbb F_q)=\mathbb F_q^2\times \mathbb F_q^2$ 下的 $U_1\times U_2\subseteq \mathbb F_q^2\times \mathbb F_q^2$ 时，由和集 $(E\cap D_i) + (F\cap D_j)$ 生成的行列式的分布。最后，作为第一结果的扩展，我们证明若 $E$ 是 $i\ne 0$ 的 $D_i$ 中一个集合且 $k$ 足够大，则只要 $E$ 的大小接近 $q^{\frac{3}{2}}$，就有 $$\det(2kE):=\det(\underbrace{E + \dots + E}_{2k~terms})\supseteq \mathbb{F}_q^*,$$。此外我们展示一般地阈值 $q^{\frac{3}{2}}$ 是最佳可能的。我们的主要方法基于离散傅里叶分析。