伪行列式的 Cauchy-Binet 公式

方阵 $A$ 的伪行列式 $\text{Det}(A)$ 定义为 $A$ 的所有非零特征值的乘积。它是一个与基无关的量，在相差一个符号的意义下，是 $A$ 的特征多项式中第一个非零项。我们证明了对于任意两个 $n \times m$ 矩阵 $F, G$，有 $\text{Det}(F^T G) = \sum_P \det(F_P) \det(G_P)$。右侧的求和遍历所有 $k \times k$ 子式，其中 $k$ 由 $F$ 和 $G$ 确定。如果 $F=G$ 是图的关联矩阵，这直接蕴含了 Kirchhoff 树定理，因为此时 $L=F^T G$ 为拉普拉斯矩阵，且当 $P$ 为有根生成树时，$\det^2(F_P) \in \{0,1\}$ 等于 1。由此可得如下勾股定理：对于任意秩为 $k$ 的自伴矩阵 $A$，有 $\text{Det}^2(A) = \sum_P \det^2(A_P)$，其中 $\det(A_P)$ 遍历 $A$ 的所有 $k \times k$ 子式。更一般地，我们证明了关于经典行列式 $\det$ 的多项式恒等式 $\det(1+x F^T G) = \sum_P x^{|P|} \det(F_P) \det(G_P)$，该式对任意两个 $n \times m$ 矩阵 $F, G$ 成立，右侧求和遍历所有子式 $P$，并规定当 $|P|=0$ 时求和值为 1。它蕴含了勾股恒等式 $\det(1+F^T F) = \sum_P \det^2(F_P)$，该式对任意 $n \times m$ 矩阵 $F$ 成立，并再次对所有子式 $F_P$ 求和。若将其应用于有限简单图的关联矩阵 $F$，则可导出 Chebotarev-Shamis 森林定理，表明 $\det(1+L)$ 等于具有拉普拉斯矩阵 $L$ 的图中有根生成森林的数量。