图的网格矩阵的光谱几何

定义并研究连通有限图 $G=(V(G),E(G))=(vertices, edges) \ of \ G$ 相对于生成树 $T_0 \subset G$ 的选取的网格矩阵 $Mesh(G,T_0)$。该矩阵由 Trent \cite{Trent1,Trent2} 引入。其特征多项式 $det(X \cdot Id -Mesh(G,T_0))$ 被证明等于 $\Sigma_{j=0}^{N} \ (-1)^j \ ST_{j}(G,T_0)\ (X-1)^{N-j} \ (\star)$ ，其中 $ST_j(G,T_0)$ 为 $G$ 中与 $E(G-T_0)$ 交于 j 条边的生成树个数，且 $N=|E(G-T_0)|$。由此得到计算该多项式的 Tutte 型删除-收缩公式。此外，$Mesh(G,T_0) -Id$ 具有特殊形式 $Y^t \cdot Y$；因此网格矩阵 $Mesh(G,T_0)$ 的特征值均为实数，且进一步被证明均 $\ge +1$。研究表明 $Y \cdot Y^t$（称为网格 Laplacian）是图 $H$ 的标准图 Kirchhoff Laplacian $\Delta(H)= Deg -Adj$ 的推广。例如，$(\star)$ 推广了图 $H$ 的全子式矩阵树定理，并给出 $\Delta(H)$ 特征多项式的删除-收缩公式。我们较详细地探讨了这一推广。对作为通量度量的网格 Laplacian 最小正特征值进行了估计，从而推广了图 Kirchhoff Laplacian 的经典不等式。