关于拟阵多面体的内部多项式与外部多项式系数

Tutte 多项式是图与拟阵的重要不变量。Chen 和 Guo \emph{[Adv. in Appl. Math. 166 (2025) 102868.]} 证明了对于 $(k+1)$-边连通图 $G$ 以及任意满足 $0\leq i <\frac{3(k+1)}{2}$ 的 $i$，$$[y^{g-i}]T_{G}(1,y)=\binom{|V(G)|+i-2}{i}-\sum_{j=0}^{i}\binom{|V(G)|+i-2-j}{i-j}|\mathcal{SC}_{j}(G)|,$$ 其中 $g=|E(G)|-|V(G)|+1$，$\mathcal{SC}_{j}(G)$ 是所有具有 $j$ 条边的极小边割集构成的集合，$T_{G}(x,y)$ 是图 $G$ 的 Tutte 多项式，且 $[y^{g-i}]T_{G}(1,y)$ 表示多项式 $T_{G}(1,y)$ 中 $y^{g-i}$ 的系数。最近，Ma、Guan 和 Jin \emph{[arXiv.2503.06095, 2025.]} 将该结果从图推广到了拟阵，并同时得到了关于拟阵 $M$ 的 $T_M(x,1)$ 系数的对偶结果。2013 年，作为图 $G$ 的 $T_{G}(x,1)$ 和 $T_{G}(1,y)$ 向超图的推广，K\'{a}lm\'{a}n \emph{[Adv. Math. 244 (2013) 823-873.]} 引入了连通超图的内部多项式与外部多项式。Chen 和 Guo 提出了一个问题：能否将图的这些结果推广到超图的内部多项式与外部多项式？在本文中，我们通过获得更一般的拟阵多面体的结果对该问题作出了肯定回答，这不仅涵盖了超图的情形，同时也推广了 Ma、Guan 和 Jin 关于拟阵的结果。作为应用，我们证明了拟阵多面体上由这些系数构成的序列是单峰的；而拟阵整体系数的单峰性已于 2018 年由 Adiprasito、Huh 和 Katz 利用 Hodge 理论得到。