伪行列式与完全平方生成树计数

方阵 $M$ 的伪行列式 $\textrm{pdet}(M)$ 是其特征多项式中的最后一个非零系数；对于非奇异矩阵，这即为行列式。若 $\partial$ 为对称或斜对称矩阵，则 $\textrm{pdet}(\partial\partial^t)=\textrm{pdet}(\partial)^2$。每当 $\partial$ 是自对偶 CW-复形 $X$ 的第 $k$ 个边界映射时，这一线性代数恒等式意味着 $X$ 中细胞 $k$-树的挠率加权生成函数是一个完全平方数。在 $X$ 为奇数维\emph{对径}自对偶 CW-球面的情形下，其第 $k$ 个细胞边界映射的伪行列式可直接解释为 $k$-树和 $(k-1)$-树的挠率加权生成函数，这补充了第二作者给出的关于偶数维球面的类似结果。该论证依赖于一个拓扑事实：任何自对偶偶数维 CW-球体均可定向，使其中间边界映射为斜对称。