通过 Tutte 多项式证明分层树权多项式恒等式

一个具有 $m$ 层的{\it 分层图} $G=(V,E)$ 是一个简单图，其中 $V\subseteq \brk{n}$，$\brk{n}=\{1,2,\cdots,n\}$，并带有一个从 $V$ 到 $\brk{m}$ 的满射映射 $t$，使得若 $v$ 在 $G$ 中与 $v'$ 相邻且 $v>v'$，则 $t(v) >t(v')$。对于任意 $n$ 的有序划分 $p=(p_1,p_2,\cdots,p_m)$，令 $\sett_p$ 表示以 $\brk{n}$ 为顶点集且带有映射 $t: \brk{n}\rightarrow \brk{m}$ 使得对所有 $i=1,2,\ldots,m$ 有 $|t^{-1}(i)|=p_i$ 的分层树集合。对于任意 $T\in \sett_p$，令 $K_T$ 表示与 $T$ 具有相同顶点集和分层映射的完全分层图。若 $K_T$ 的边按其端点字典序排序，则 $T$ 的权 $w(T)$ 是 $T$ 在 $K_T$ 中的外活动数，即满足 $e$ 是由 $T\cup e$ 确定的唯一圈中最小元素的边 $e\in E(K_{T})\setminus E(T)$ 的数目。令 $P_p(q)=\sum_{T\in \sett_{p}}q^{w(T)}$。Dugan、Glennon、Gunnells 和 Steingr\'imsson [J. Combin. Theory, Ser. A 164 (2019) pp. 24-49] 要求给出对任意 $1,2,\cdots,m$ 的置换 $\pi$ 恒等式 $P_p(q)=P_{\pi(p)}(q)$ 的初等证明，其中 $\pi(p)=p_{\pi(1)},p_{\pi(2)},\cdots,p_{\pi(m)}$。在本文中，我们将通过应用 Tutte 多项式证明该恒等式的一个推广。此外，我们还通过 Tutte 多项式给出了恒等式 $P_{(1,p_1,p_2)}(q)=P_{(p_1+1,p_2+1)}(q)$ 的证明。